世界基数
如果一个k满足Vκ是ZFC的一个模型，那么κ是一个世界基数。
不可达基数
这个基数不与自然数集等势，＞N0，其序数为α，
设定β是序数，称β∪{β}为β的后继.可以证明，β是序数，则β的后继也是序数，记为β+1.
而序数α，不可以找到序数β，使α为β的后继，即不存在?β(α=β+1)。
不可达基数I强不可达基数
cfκ=K(正则基数)，满足κ＞??，如果?＜κ,那么P(?)或者其他任何运算也＜κ(强极限基数)κ就是一个强不可达基数,一般把强不可达基数叫做不可达基数,在GCH之下，每个弱不达基数也是强不可达基数，每个强不可达基数也都是弱不可达。
不可达基数是第一个大基数,比它小的称为小基数
这只是第一个不可达基数，
暂记作l(0)还会有第二个不可达：l(1)……
K是l(K)时便是2-不可达基数,暂记l?
K是Ⅰ?(K)便是3-不可达基数……
当K是K-不可达基数时便是超不可达基数
马洛基数
又称马赫罗基数
对于所有K，正则基数β的初始段（即β以下的所有基数）中都包含一个K基数。这里的K在这个基数以上所有的正则无限基数的并集中，删去所有小于K的基数后，剩余的基数集合是一个K的闭集。
也就是一个马洛基数κ之下的不可达基数组成驻集，小于κ的所有正则基数集合是κ的驻子集，则κ为马洛基数，说明白点就是任意不可达基数k，其他不可达基数在这个k前面形成无界闭集
取驻集族为{a{0,1}都存在一个κ个元素的子集使f在这个集上的值相同。
不可描述基数
基数K称为∏n
不可描述基数如果对于每个∏m命题(φ，并且设置A?∨κ与(Vκ+n,∈，A)╞φ存在一个α＜κ与(Vα+n，∈,A∩Vα)╞φ。这里看一下具有m-1个量词交替的公式，最外层的量词是通用的。∏n
不可描述基数以类似的方式定义。这个想法是，即使具有额外的一元谓词符号（对于A）的优势，也无法通过具有m-1次量词交替的n+1阶逻辑的任何公式将κ与较小的基数区分开来（从下面看）。这意味着它很大，因为这意味着必须有许多具有相似属性的较小基数。
如果基数κ是∏nm，则称它是完全不可描述的——对于所有正整数m和n都难以描述。
可迭代基数
将基数κ定义为可迭代的，前提是κ的每个子集都包含在弱κ-模型M中，其中在κ上存在一个M-超滤器，允许通过任意长度的超幂进行有根据的迭代。Gitman给出了一个更好的概念，其中一个基数κ被定义为α-iterable如果仅需要长度为α的超幂迭代才能有充分根据。
拉姆齐基数：
构造：
让[κ]＜ω表示κ的所有有限子集的集合。如果对于每个函数，基数κ称为Ramsey
f:[κ]＜ω→{0,1}
存在基数为κ的集合A对于f是齐次的。也就是说，对于每个n，函数f在A的基数n的子集上是常数。如果A可以被选为κ的固定子集，则基数κ被称为不可言说的Ramsey。如果
对于每个函数，基数κ实际上
被称为Ramsey
f:[κ]＜ω→{0,1}
存在C，它是κ的一个闭无界子集，因此对于C中具有不可数共尾性的每个λ，都存在一个与f齐次的入的无界子集；稍微弱一点的是lamostRamsey的概念，其中对于每个λ＜κ，需要有序类型λ的f的同质集。
将基数κ定义为可迭代的，前提是κ的每个子集都包含在弱κ-模型M中，其中在κ上存在一个M-超滤器，允许通过任意长度的超幂进行有根据的迭代。Gitman给出了一个更好的概念，其中一个基数κ被定义为α-iterable如果仅需要长度为α的超幂迭代才能有充分根据
可测基数
为了定义这个概念，人们在基数κ上或更一般地在任何集合上引入了一个二值度量。对于基数κ，它可以描述为将其所有子集细分为大集和小集，使得κ本身很大，?并且所有单例{α}，α∈κ很小，小集的
补集很大，并且反之亦然。小于的交集κ大集又大了。
事实证明，具有二值测度的不可数基数是无法从ZFC证明其存在的大基数。
形式上，可测基数是不可数基数κ，使得在κ的幂集上存在κ加性、非平凡、0-1值测度。（这里术语k-additive意味着，对于任何序列Aα，α＜λ的基数λ＜κ，Aα是成对相交的小于κ的序数集，Aα的并集的度量等于个人Aα的措施。)为了
强基数：
如果λ是任何序数，κ是λ-strong意味着κ是基数并且存在从宇宙V到具有临界点κ和
Vλ?M
也就是说，M在初始段上与V一致。那么κ是强的意味着它对所有序数λ都是λ-强的。
伍丁基数：
构造：
f:λ→λ
存在一个基数κ＜λ和
{f(β)|β＜κ}
和基本嵌入
j:V→M
超强基数：
构造：
当且仅当存在基本嵌入j：V→M从V到具有临界点κ和
V_j(κ)?M
类似地，基数κ是n-超强当且仅当存在基本嵌入j:V→M从V到具有临界点κ和V_jn(κ)?M。Akihiro
Kanamori已经表明，对于每个n＞0，n+1-超强基数的一致性强度超过n-huge基数的一致性强度。
超强基数
当且仅当存在基本嵌入j：V→M从V到具有临界点κ和
V_j(κ)?M
类似地，基数κ是n-超强当且仅当存在基本嵌入j:V→M从V到具有临界点κ和V_jn(κ)?M。Akihiro
Kanamori已经表明，对于每个n＞0，n+1-超强基数的一致性强度超过n-huge基数的一致性强度。
强紧致基数
当且仅当每个κ-完全滤波器都可以扩展为κ-完全超滤器时，基数κ是强紧凑的。
强紧基数最初是根据无限逻辑定义的，其中允许逻辑运算符采用无限多的操作数。常规基数κ的逻辑是通过要求每个运算符的操作数数量小于κ来定义的；那么κ是强紧致的，如果它的逻辑满足有限逻辑紧致性的模拟。具体来说，从其他一些陈述集合中得出的陈述也应该从基数小于κ的某个子集合中得出。
强紧性意味着可测性，并被超紧性所暗示。鉴于相关基数存在，与ZFC一致的是第一个可测基数是强紧基数，或者第一个强紧基数是超紧基数；然而，这些不可能都是真的。强紧基数的可测极限是强紧的，但至少这样的极限不是超紧的。
强紧性的一致性强度严格高于伍丁基数。一些集合论学家推测强紧基数的存在与超紧基数的存在是等一致的。然而，在开发出超紧基数的规范内模型理论之前，不太可能提供证明。
可扩展性是强紧凑性的二阶类比。
超紧致基数
如果M?M，则称κ为λ超紧基数；如果对任意为λ≥κ，κ为λ超紧基数，则称k为超紧基数。
若κ是超紧基数，则存在κ个小于k的超强基数。
假设N是一个ZFC的模型,δ是一个超紧基数,如果对任意λ＞δ,存在Pδ(λ)一个δ-完全的正则精良超滤U满足
伊卡诺斯基数：存在一个L(V_λ+1，lcuras)非平凡基本嵌入，其临界点低于λ，伊卡洛斯存在于V_λ+2-L(V_λ+1)。
公理I3~I0
：I3：存在Vλ到自身的非平凡基本嵌入。
I2：V存在一个非平凡基本嵌入到包含Vλ的传递类M，λ为临界点上方的第一个不动点。
I1：Vλ+1到自身的非平凡基本嵌入。
I0：存在L(Vλ+1)的非平凡基本嵌入，其临界点＜λ公理。
莱因哈特基数
莱因哈特基数是非平凡基本嵌入的临界点
j:V→V的V进入自身。
这个定义明确地引用了适当的类j.在标准ZF中，类的形式为{x|Φ(x,a)}对于某些集合a和公式Φ.但是在Suzuki中表明没有这样的类是基本嵌入j：V→V.
还有其他已知不一致的莱因哈特基数公式。一是新增功能符号j用ZF的语言，连同公理说明j是的基本嵌入V，以及所有涉及的公式的分离和收集公理j.另一种是使用类理论，如NBG或KM，它们承认在上述意义上不需要定伯克利基数
伯克利基数
伯克利基数基数是Zermelo-Fraenkel集合论模型中的基数κ，具有以下性质：
对于包含κ和α＜κ的每个传递集M，存在M的非平凡初等嵌入，其中α＜临界点＜κ.Berkeley基数是比Reinhardt基数严格更强的基数公理，这意味着它们与选择公理不兼容。
作为伯克利基数的弱化是，对于Vκ上的每个二元关系R，都有（Vκ，R)的非平凡基本嵌入到自身中。这意味着我们有基本的
j1，j2，j3....j1:(Vκ，∈)→(Vκ,∈),j2:（Vκ，∈,j1)→(Vκ,∈，j1)，j3:(Vκ,∈，j1,j2)→(Vκ，∈,j1,j2)
等等。这可以持续任意有限次，并且在模型具有依赖性选择的范围内无限。因此，似乎可以通过断言更多依赖性选择来简单地加强这一概念。
对于每个序数λ，存在一个ZF+Berkeley基数的传递模型，该模型在λ序列下是封闭的。义的类。
『冯·诺依曼宇宙』
V?=?
V＿α+1=P(V＿α)
若λ为极限序数，
则V_λ=∪_k＜λV_k，
V=∪_kV_k，
k跑遍所有序数
令ord为所有序数的类
则V=∪_k∈ordV_k
……
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