首先说一下“ω”,作为最小的无穷序数,它大于任何自然数.或者说ω是sup{0,1,2,…}的极限.任意的自然数(包括葛立恒数和TREE(3))都在里面.可是ω实在是太大了,大于所有的自然数.那可不可以存在一种弱化它的办法,把它从无限转换成某些比较大的自然数呢?

这种方法就是―fast-growinghierarchy(FGH).

定义f_0(n)=n+1.这条初始规则定义了最小序数时的情况(0是最小的序数).

而f_α+1(n)=f_α^n(n).遇到任何大于0的序数都要把这个函数复合n次.

到现在为止,我们已经定义出了自然数序数阶段的FGH.f_n(n)已经具有和高德纳箭头相当的增长率.接下来就可以用上ω了.

定义f_ω(n)=f_n(n).

ω的作用就是替换自变量.比如f_n(f_n(n))和f_ω(f_n(n))的结果是不一样的.前者的下标只是一个自然数,它在被展开的过程中并不会被改变.而第二个式子中的ω随着里面f_n(n)的展开会被替换成某些远远大于n的自然数.

越外层的ω,展开得到的自然数就越大.可以说ω从某些角度被弱化了,从而输出了一个非常大的自然数.即用无限表示有限.

再看Ω,作为第一个非递归序数(ω_1^CK的简写)它大于一切通过ω^x不动点构造的序数.就像ω大于全体自然数一样.那么也存在一种把Ω弱化成某些大的递归序数的方式,这种方式就是―OrdinalCollapsingFunction(OCF)

假设ψ(x)=ω^x.而Ω所折叠的是ψ(x)这个函数里给定的东西.所以ψ(Ω)=ψ(ψ(ψ…))=ε0.就像ω会被展开成某些大的自然数一样,Ω的作用就是被替换成某些大的递归序数.在Ω之后还有Ω_2(第2个非递归序数),它的作用就是折叠出关于Ω的某些大的递归序数值,然后Ω再折叠出各种递归序数…这样一来,所输出的自然数就非常之巨大了.

而在Ω之上还有“I”(不可达序数),把它放进OCF里,会输出一些关于Ω_x的复杂表达式,把“M”(Mahlo序数)放进OCF里,又会输出一系列关于I的复杂表达式,…这样一环扣一环.将是一个全新的,无可比拟的水平.

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