ω×ω×ω=ω^3
虽然不容易表示，但是顺序数的乘法满足结合规律。即，(ω×ω)×ω=ω×(ω×ω)。看看左边，就知道了基本列，
ω×ω×1，ω×ω×2，ω×ω×3，
※ω×(ω+1)×ω按计算，
=(ω^2+ω)×ω，为极限顺序数。如果你看看这个基本列，
(ω^2+ω)×1，(ω^2+ω)×2，(ω^2+ω)×3，...
是。和在左侧不能使用分配法则，所以要仔细计算。
(ω^2+ω)×1=ω^2+ω
(ω^2+ω)×2=ω^2+ω+ω^2+ω=ω^2×2+ω
(ω^2+ω)×3=ω^2×3+ω
该顺序数列不会超过ω^3，但可以比小于ω^3的任何顺序数都大。因此，该列收敛于ω^3。因此，
ω×(ω+1)×ω=ω^3
ω^ω
这是满足ω×α=α的第二个顺序数。另外，第一个是0。基本列为ω^1、ω^2、ω^3，...
※如果观察※ω×ω^ω的基本列，
ω×(ω)、ω×(ω×ω)、ω×(ω×ω×ω)、...
那么，因为乘积中耦合定律成立，所以最终这个收敛点是ω^ω，
ω×ω^ω=ω^ω
ω^ω×ω
这真的比ω^ω大。先看基本排吧。
ω^ω×1，ω^ω×2，ω^ω×3，...
这是因为，
ω^ω，ω^ω+ω^ω，ω^ω+ω^ω+ω^ω，...
正在说这样的话。ω^ω+1是ω^ω的次序数，所以真的很大，ω^ω比1大，所以可知ω^ω×ω也比ω^ω大。
ω^ω^2
计算得出，ω^(ω×ω)，其收敛列为
ω^(ω×1)、ω^(ω×2)、ω^(ω×3)、...是。
ω^ω^ω
收敛列为
ω^ω^1，ω^ω^2，ω^ω^3，...
ε_0
这就是被称为伊普西隆零的顺序数。这是一个到达地点，在众多的顺序数中也绽放出灿烂的光芒。首先看基本列，掌握实际情况吧。
ω，ω^ω，ω^ω^ω，...
这样重写可能已经很熟悉了。
ω^^1，ω^^2，ω^^3，...
也就是说，也可以写成ε_0=ω^^ω。但是，顺序数中通常没有定义重复^^，所以写法有点危险。
ε_0的重要性质是，以下的顺序数和不能使用和、积、乘方表示的第二顺序数。(另外，设1=0^0。第一个顺序数为ω)
那么，从这里开始一边眺望顺序数一边练习。
ε_0×2
顺序数随时求基本列与性质直接相关。为了求出这个基本列，先重写吧。
ε_0+ε_0
形成和的形式后，求出最右侧的顺序数的基本列即可。无论什么时候，将最后计算的运算右侧的顺序数作为极限顺序数，求出其基本列是固定的。
ε_0+ω，ε_0+ω^ω，ε_0+ω^ω^ω，...
ε_0^(ω+1)
这也是极限顺序数，但最后计算项的右侧为ω+1，不是极限顺序数。指数规律，无论什么时候都不能和实数一样使用，但这次可以顺利进行。
重写为ε_0^ω×ε_0，其基本列为、
ε_0^ω×ω，ε_0^ω×ω^ω，ε_0^ω×ω^ω^ω...
ε_0^ε_0+ε_0×6+ω×2+4
当然也有这样的东西。这不是极限顺序数。
ε_1=ε_0^^ω=ε_0^ε_0^ε_0...
伊普西隆1。这是不能用以下的顺序数和、积、乘方制作的第二个顺序数。也就是说，将具有该性质的东西按顺序排列的是ε_n。虽然在顺序数上没有定义重复，但是为了看到公式的形状，可以方便地使用。基本列从公式的形式上就很明显了，所以省略。
ε_1^(ε_0×2乘2)
我觉得作为计算练习，形状很有趣。那么，如果你仔细使用指数定律，
(ε_1^ε_0)^2=(ε_1^ε_0)×(ε_1^ε_0)
中选择所需的族。基本列是通过破坏最右侧的ε_0得到的。
(ε_1^ε_0)×(ε_1^ω)、(ε_1^ε_0)×(ε_1^ω^ω)、...
ε_4=ε_3^^ω
看到这样也很开心。使用反复的形式的话，基本列很容易理解。
ε_ω
如果那里写着自然数的话，就会想把本身作为基本列吧！？
这是ε_n的形式，以及无法用和、积、幂表示的最小顺序数。基本列虽然简单易懂，但还是先写下来吧。
ε_0，ε_1，ε_2，...
ε_(ω+1)
嘛，这样的也能做。这个，借你的重复吧。利用ε_(n+1)=ε_n^^ω
ε_(ω+1)=ε_ω^^ω=ε_ω^ε_ω...
基本列是
ε_ω，ε_ω^ε_ω，ε_ω^ε_ω^ε_ω，...
ε_(ε_0)
虽然已经像是在开玩笑了，但是看起来不像是ε_(n)这个函数吗？那么，实际上就那样处理吧。回想ε_n的性质，它是小于或等于的顺序数，以及不能使用和、积、幂表示的第n-1个顺序数。也就是说，作为从n中得到顺序数的函数使用。
ζ_0=ε_ε_ε_ε_...
哎呀，这是猪逃跑后的图案吗？
看了基本队列之后理解吧。
ε_0
ε_(ε_0)
ε_(ε_(ε_0))
怎么回事，罗克丽娅。想使用函数的合成吗？那么这个顺序数可以这样表示。
ε^ω_0
这是小于或等于的顺序数，以及无法使用函数ε、和、积、幂表示的最小顺序数。虽然与函数ε完全不同，但实际上这是时隔ε_0的仅次于和、积、乘方的另一个运算。这样想的话，ζ_0是非常美丽的顺序数。
那么，从这里开始有各种一般化的方法。之所以说这个运算的数量，也就是说某个超限顺序数在此以下的顺序数和使用这个运算不能写的最小数量，
ε_0(幂)
ζ_0(ε)。
数到第一个、第二个，
ε_0=φ(1，0)
ζ_0=φ(2，0)
这样写吧。这样的话，
ε_n=φ(1，n)
ζ_n=φ(2，n)
可以写成。你已经明白了吧。
φ(3，0)
是不能用ζ、ε、乘方、积、和及以下顺序数表示的最小数。
φ(ω，0)
如果是已经认真交往到这里的罗克丽亚的话，你就知道她是想说的吧。
先一般化吧。
φ(a，0)的基本列为
φ(a，0)、φ(a-1，φ(a-1，0))、φ(a-1，φ(a-1，φ(a-1，0))...
这样的情况下，
φ(ω，0)的基列为
φ(1，0)、φ(2，0)、φ(3，0)、...
是。从0开始或者从1开始是我的兴趣问题。
Γ_0=φ(1，0，0)
那么，这是什么呢？如果是理解力强的罗克丽亚的话，你注意到了吗？
这是小于或等于的顺序数，以及无法使用(作为2变量函数的)φ和小于或等于φ的函数表示的最小顺序数。基本列是，φ(1，0)φ(φ(1，0)，0)φ(φ(φ(1，0)，0)，0)...是。快乐。Γ_1=φ(1,0,1)
啊，也就是说，这是小于或等于的顺序数，以及不能使用(2变量的)φ和小于或等于φ的函数表示的第二顺序数。
Γ_Γ_Γ_...=φ(1,1,0)
这是什么呢，这是站在高速公路上的电灯吗？看γ的话，基本列很容易理解就可以了。
你不觉得在这里突然变得很难懂吗？2尽管到变量φ为止很简单。而且，分成了两个系统。但是，暂且不论使用φ，使用γ的话字数才ω个，不，需要更多，做不好。严密的理解交给专著，只看气氛吧。
φ(1，0，0，0)
三变量φ及其以下的运算，以下省略
φ(1，0，0，0，0，...)=?(Ω^ω)
嗯，左边很容易理解，但是右边很难理解。实际上，有一个叫做theta(Ω^n)的系统是用不同的系统发展而来的，简单来说，Ω^n的n的作用就是表示φ的变量的数量。另外，(Ω^0)为φ(1，0)，已经是2个变量，因此与实际的变量个数有2个偏差。但是，没有问题。因为2+ω=ω！
另外，被命名为小小波序列数。虽然很帅，但是小？也就是说
?(Ω^Ω)
这就是大小波序列数。到此为止，还可以用φ的残余来理解。
也就是说，就是说，以下的顺序数，以及使用以(Ω^n)的n为变量的函数(也就是φ的变量的数量)和以下的函数也无法表示的最小顺序数。
顺便说一下，φ是本质的，超过其界限的大小波顺序数在某种意义上可以说在能够用于急增函数的水平上是界限。(在小小波顺序数上，已经迎来了极限)从这里开始，必须考虑将顺序数本身作为可以使用的顺序数的函数。其实已经出来了，就是那个。而且，我认为ω这个符号在未定义的情况下被使用，意义不明，但这是一个不可数顺序数，实际上不能直接用于激增函数。
这是因为超限顺序数不是自然数，所以不能说是巨大数，所以在非可数顺序数中不能说是适合于突然增加函数的顺序数，所以把与使用突然增加函数降低为自然数的结构相同的结构降低为可数顺序数。尽管如此，无论创造多么大的自然数，也可以说本质上比它大，也就是说，正如存在落入巨大数量悖论误差范围的自然数一样，可数顺序数仍然持续。最后，让我介绍一个最大的可数顺序数。ω^CK_1
丘比克利顺序数。这是使用上面做过的类似这样的重复步骤也无法到达的顺序数。也就是说，容易理解的基本列已经不存在了。实际上可以借助别的数学力量组成基本列。
顺序数稍有异常，在巨大数论中，这里成了一个分界线。当然，不能就这样用于急增函数，因为收敛列不明确，但是如果定义了收敛列，就可以成为急增函数。这比任何可以递归计算的函数增加得都快，所以成为不可计算函数这个领域。
……
第一不可数序数ω_1(也称为Ω)被称为“欧米茄1”或“第一不可数顺序数”，是最小的不可数顺序数。这有以下几个等价的定义。当存在从自然数向顺序数α的全射时，认为α是可能的。ω_1是不可数的最小顺序数。ω_1是其基本列与自身相等的第2顺序数。ω_1是存在向自然数的映射的所有顺序数的上限。ω_1是所有可数顺序数的集合。在此，顺序数的定义是比自己小的所有顺序数的集合。ω_1是具有大于ω的基数(浓度)的最小顺序数。即，ω_1=?_1?_0=ω。
第二非可算順序数
第三非可算順序数
......
......
第ω非可算順序数
......
......
在集合论的新发展中，有趣的是，集合论与数学领域之间的关系仍然受到关注。让我们稍微看看这件事。
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