下面把∏?-反射onto简写为x-，且则用空格代替。a是b稳定则用箭头代替,即a→b
首先是∏?-反射(简写为1):
1=ω
1-1=ω^2
1-1-1=ω^3
(1-)^ω=ω^ω左上角表示反射链长度
(1-)^((1-)^ω)=ω^^3
a-(1-)^a的第一个不动点就是ε_0
我们可以设X(1,m)=a-(1-)^a的第m个不动点.然后用X(2,0)折叠X(1,…)的不动点.这样继续下去.可以得到任意大的递归序数.
∏?-反射(简写为2,后面将不再叙述):
2=ω_1^CK因为1反射序数可以描述任意大的递归序数.但它永远也描述不了ω_1^CK(首个非递归序数).所以2反射=ω_1^CK.
下面把ω_x^CK简写为Ω_x
1-2=Ω_ω第ω个非递归序数
1-1-2=Ω_(ω^2)第ω^2个非递归序数
(1-)^ω2=Ω_(ω^ω)
通过把1反射的不动点套在2反射前可以得到任意Ω_(递归序数)
(1-)^(2)2=Ω_Ω长度为Ω的1反射链.
(1-)^(1-2)2=Ω_Ω_ω
(1-)^((1-)^(2))2=Ω_Ω_Ω
a-(1-)^a2的第一个不动点是Φ(1,0).也就是Omega不动点.
通过创造(1-)^a2的各种不动点可以得到任意大的容许序数.放在OCF里就是诸如ψ_I(I^2),ψ_I(K)之类的东西.
它们永远小于也到达不了“I”递归不可达序数.
21-2=I它正是1-1-…2描述不了的
1-(21-2)=I_ω第ω个不可达序数
1-1-(21-2)=I_(ω^2)
(1-)^(2)(21-2)=I_Ω
(1-)^(21-2)(21-2)=I_I
(1-)^((1-)^(21-2)(21-2))(21-2)=I_I_I
通过创造(1-)^a(21-2)的各种不动点可以得到ψ_I(1,0)(I(1,0,0)),ψ_I(1,0)(M^5)…等各种序数(在OCF中)
它们永远达不到下面的:
21-(21-2)=I(1,0)I的容许极限,1-1-…(21-2)无法描述的序数.
1-(21-(21-2))=I(1,ω)
(1-)^(21-(21-2))(21-(21-2))=I(1,I(1,0))
21-(21-(21-2))=I(2,0)I(1,0)的容许极限
21-(21-(21-(21-2)))=I(3,0)
(21-)^ω=I(ω,0)
(21-)^((21-)^2)=I(I(1,0),0)
下面把(21-)^(…)的第一个不动点记为(21-)^(1,0).那么(21-)^(1,0)=ψ_I(1,0,0)(0)
21-(21-)^(1,0)=(21-)^(1,1)=I(1,0,0).I(…,0)的容许极限.也是a-(21-)^a的第二个不动点.
通过创造(21-)^a的各种不动点.我们可以得到任意大的不可达序数.
2-2=MMahlo序数,(21-)^…所无法描述的序数
1-2-2=M_ω第ω个Mahlo序数
(1-)^(2-2)2-2=M_M
(1-)^(1,0)2-2=MFPMahlo不动点
21-2-2=M(1,0)Mahlo序数的容许极限
21-(21-2-2)=M(2,0)M(1,x)的容许极限
21-(21-(21-2-2))=M(3,0)
(21-)^ω(2-2)=M(ω,0)
(21-)^((21-)^ω(2-2))(2-2)=M(M(ω,0),0)
(21-)^(1,0)(2-2)=a-M(a,0)的第一个不动点
(21-)^(1,1)(2-2)=M(1,0,0)M(x,0)的容许极限
如此往复,(21-)^a(2-2)的各种不动点可以得到M(a,b,c,d)…等任意大的Mahlo序数.
2-21-2-2=M[1,0]2-Mahlo序数,它放到ocf里折叠出M(a,b,c,…)
21-(2-21-2-2)=M[1,(1,0)]2-Mahlo序数的容许极限
21-(21-2-(2-21-2-2))=M[1,(2,0)]
(21-)^(1,1)(2-21-2-2)=M[1,(1,0,0)]
2-21-(2-21-2-2)=M[3,0]3-Mahlo序数.它放到ocf里会折叠出M[2,(a,b,…)]
2-21-(2-21-(2-21-2-2))=M[4,0]4-Mahlo序数
(2-21-)^ωω-Mahlo序数
(2-21-)^(1,1)M[(1,0),0]a-Mahlo序数的容许极限
2-2-2=M[1,0,0]超Mahlo序数
2-2-2-2=M[1,0,0,0]
(2-)^ω=M[1@ω]
(2-)^(1,0)=M[1@M[1@…]]
∏?-反射
3=K弱紧序数
接下来将加快速度
1-3=K_ω
21-3=K(1,0)K的容许极限
2-21-3K的Mahlo极限
2-2-21-3K的超Mahlo极限
31-3自己的自己极限
31-(31-3)自己的自己的自己极限
2-3(都不知道怎么描述了)
21-2-3它的容许极限
2-21-2-3它的Mahlo极限
31-2-3它的K极限
2-(31-2-3)它的自己极限
1-2-(31-2-3)第ω个它自己极限
2-2-3不再叙述
2-2-2-3
32-3
2-(32-3)
2-2-(32-3)
32-(32-3)
32-(32-(32-3))
3-3终于来到了长度为2的3反射链
3-32-3-3
3-32-(3-32-3-3)
3-3-3
3-3-3-3
(3-)^ω
(3-)^(1,0)
∏?-反射
4-4
5
6
114514
…
ω虽然ω反射不存在,但便于理解还是写上了
ω-ω-ω
ω+1-反射
ε_0-反射
ψ(K_3)-反射
Ω-反射
I-反射
M-反射
K-反射
4-反射-反射
ω-反射-反射
ω-反射-反射-反射
假设存在一个反射不动点,它是∏_∏_…=∏(1,0)
-反射的使命到此为止-
---
a→a+1-∏0稳定
这是最小的稳定序数,它相当于ω-反射
a→a+1-∏1稳定它相当于ω+1-反射
a→a+1-∏2稳定ω+2-反射
a→a+1-∏ω=a→a+2-∏0稳定ω2-反射
稳定序数尾部满ω进1.也就是说,一层稳定相当于ω层反射.
下文将省去稳定后缀
a→a+2-∏0ω3-反射
a→a+ω-∏0ω^2-反射
a→a+ε_0-∏0ε_0-反射
a→a+Ω-∏0Ω-反射
a→a+(∏3-Ref)-∏0K-反射
a→a+(a→a+1-∏0)-∏0ω-反射-反射
a→a2-∏0∏(1,0)-反射
a之于a→类似于Ω之与ψ
反射的复杂层级,只需要稳定序数的简单运算就可以达到
a→a2+1-∏0
a→a2+(a→a2-∏0)-∏0
a→a3-∏0
a→aω-∏0
a→a(a→a+1-∏0)-∏0
a→a^2-∏0
a→a^3-∏0
a→a^(a→a^2-∏0)-∏0
a→a^a-∏0
a→a^a^a-∏0
a→ε_(α+1)-∏0a的ε点
a→Γ_(α+1)-∏0a的Γ点
a→ψ_Ω_(α+1)(Ω_(a+2))-∏0
a→ψ_Ω_(α+1)(I(1,0,a+1))-∏0把a代入到ocf中
a→Ω_(α+1)-∏1a的容许点
a→ψ_Ω_(α+2)(M_(a+ω))-∏0
a→Ω_(α+2)-∏1
a→Ω_(α+ω)-∏0ω-Dropping的极限
a→Ω_(α2)-∏0
a→Ω_(ψ_Ω_(a+1)(Ω_(a2)))-∏0
a→Ω_Ω_(a+1)-∏1
a→Φ(1,α+1)-∏0a之后的ofp
a→ψ_I_(a+1)(I(a+1)^2)-∏0
a→I_(α+1)-∏1
a→I_I_(α+1)-∏1
a→ψ_I(1,a+1)(I(1,a+1))-∏1
a→I(1,α+1)-∏1
a→I(1,0,α+1)-∏1
a→M_(α+1)-∏1a之后的Mahlo点
a→K_(α+1)-∏1a之后的K点,又称a→∏3-反射aftera-∏1
a→∏4-反射aftera-∏1
a→∏ω-反射aftera-∏1=a→b→b+1-∏0-∏0
长度为2的稳定链
这个东西是不是类似于a→a+1-∏0稳定=∏ω-反射?但它是关于a的.
a→b→b+1-∏1-∏0
a→b→b+2-∏0-∏0
a→b→b+(a→b→b+1-∏0-∏0)-∏0-∏0
a→b→b+a-∏0-∏0
a→b→b+a^2-∏0-∏0
a→b→b+K_(a+1)-∏1-∏0
a→b→b+∏ω-反射aftera-∏0-∏0
=a→b→b+(b→b+1-∏0)-∏0-∏0
a→b→b2-∏0-∏0开始折叠b
a→b→b^2-∏0-∏0
a→b→ε_(b+1)-∏0-∏0
a→b→Ω_(b+1)-∏1-∏0
a→b→K_(b+1)-∏1-∏0
a→b→∏ω-反射afterb-∏0-∏0
=a→b→c→c+1-∏0-∏0-∏0
当b大到∏ω反射之后时,需要用c来折叠.形成长度为3的稳定链.
a→b→c→c+a-∏0-∏0-∏0
a→b→c→c+b-∏0-∏0-∏0
a→b→c→c+(c→c+1-∏0)-∏0-∏0-∏0
a→b→c→c2-∏0-∏0-∏0开始折叠c
a→b→c→∏4反射afterc-∏0-∏0-∏0
a→b→c→d→d+1-∏0-∏0-∏0-∏0
长度为4的稳定链(请自行想象)
像α→β→γ→…这样的链条称为稳定链,当稳定链的长度达到ω的时候.这个序数放在OCF里被称为PLRO(它不是真正的稳定链)
目前为止,我们达到了BMS的(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)
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